LA SIMMETRIA
Per
Ricordare di Meno: La simmetria
Durata: 2 ore
Preparazione e Consegna
Nell'attività sulla costruzione della Tavola Pitagorica si è mostrato
un modo per inserire alcuni prodotti all'interno della tabella proposta.
Per agevolare il calcolo mentale è importante che tali prodotti vengano
memorizzati dai bambini ma non è necessario che si memorizzino tutti
quanti. Osservare la presenza di una simmetria (dovuta ovviamente alla
proprietà commutativa della moltiplicazione) permette di dimezzare il
numero di prodotti da memorizzare. In altre schede vengono proposte
altre attività per ridurre ulteriormente il carico di materiale da
imparare e memoria.
FASE 1
Per introdurre i bambini al concetto di simmetria viene data la seguente consegna:
-
Prendi un foglio e piegalo a metà, disegna lungo la piegatura metà della sagoma di un oggetto (un albero, un gelato, un fiore, …)
-
Ritaglia lungo la sagoma disegnata. Cosa ottieni?
-
Come sono le due parti della figura separate dalla piega?
Dire
che i Matematici chiamano le due figure da una parte e dall’altra
della linea “simmetriche”.
FASE 2
Per mostrare la simmetria della Tavola Pitagorica se ne realizza una su
un foglio trasparente, con tratteggiata la diagonale, e si chiede ai
bambini di riempirla con i prodotti già noti. Si dà poi la seguente
consegna:
-
Piega la tabella lungo la linea tratteggiata. Ci sono numeri che si sovrappongono?
-
Come sono i numeri che si sovrappongono? Prova a spiegare il perché.
FASE 3
I bambini avranno elaborato delle congetture sul perché alcuni numeri
si sovrappongono; alcuni forse avranno anche usato la parola
“simmetrici”. Dopo aver raccolto alcune idee, consegnare a tutti i
bambini una copia della seguente tabella della moltiplicazione e
chiedere:
“Vi ho finito di completare la tabella della moltiplicazione. Provate ad osservarla. Ci sono simmetrie? Quali?”
Chiedere
poi: “Come mai c’è questa simmetria?”
Chiedere: “Ma allora se dovete imparare i prodotti nella tabella,
come potete fare per ricordarne meno ma saperli comunque tutti?”
Si può ricordare, inoltre, che in matematica meno cose si ricordano e
meglio è perché è difficile tenere tutto a mente ed è sempre meglio
sapersi ricavare le cose velocemente al momento con piccoli ragionamenti
che usano sempre i soliti pochi modi di pensare matematici.
Infine si può formalizzare il fatto di ricordare solo alcuni prodotti
da cui se ne ricavano altri, e poi basta sapere al più “mezza tabella
più la diagonale”, riportando sul quaderno i prodotti minimi da
ricordare per potersi ricavare gli altri (potranno variare da bambino a
bambino). Si può dire ai bambini che a mano a mano che useranno i
prodotti, ne verranno automatizzati sempre di più fino a che se li
ricorderanno tutti, usando le strategie che avranno sviluppato e
rafforzato.
Poi far esercitare i bambini a ricavare i prodotti a partire da quelli
che ciascuno conosce. Ripetere frequentemente questa attività, associando
ad ogni prodotto la sua posizione sulla tavola pitagorica.
Che cosa aspettarsi
Nella prima fase si può decidere di assegnare un preciso disegno ai
bambini oppure lasciarli liberi di usare la propria fantasia. Tuttavia
sarà necessario fare attenzione che i bambini disegnino la mezza sagoma
dal lato della piegatura e che la sagoma non sia una figura chiusa.
Dalla discussione dovrebbe emergere che la figura ottenuta è formata da
due parti congruenti ma viste “allo specchio” e separate proprio
dalla linea di piega.
A partire dall'osservazione precedente si dovrebbe notare, nella seconda
fase, che anche la Tavola Pitagorica presenta una simmetria (i bambini
dovrebbero osservare che numeri uguali si sovrappongono), questo
potrebbe essere spiegato da loro sia in termini di simmetria dei
rettangoli che di commutatività della moltiplicazione.
Nella terza fase i bambini dovrebbero riconoscere la simmetria lungo la
diagonale da 1 a 100.
Significati matematici che si vogliono costruire
Si vogliono introdurre i bambini al concetto di simmetria fornendo loro
una prima idea intuitiva. In particolare si utilizza la piegatura per
mostrare come elementi simmetrici vadano a sovrapporsi in seguito ad una
rotazione del piano intorno all'asse di simmetria. Si vuole arrivare,
inoltre, ad istituzionalizzare la proprietà commutativa della
moltiplicazione, e a notare che per ricordarsi tutti i prodotti della
tabella si possono usare le strategie di composizione e scomposizione
viste finora, ma anche questa proprietà, che, da sola, porta a
dimezzare i fatti da ricordare.
Nella terza fase, potrebbe uscire l’idea della rotazione di un
rettangolo per portarlo sul suo corrispondente secondo la simmetria
della diagonale. Ovviamente l’idea è corretta e la rotazione di 90°
e simmetria assiale lungo la diagonale, sono movimenti che mandano un
rettangolo nello stesso rettangolo. Tuttavia qui, enfatizzeremo in modo
particolare la trasformazione “simmetria assiale”, come descritto
sopra.
Come costruire i significati matematici
Si deve porre particolare attenzione nel far notare che le due parti di
cui è composta la figura simmetrica sono congruenti (cioè si
sovrappongono perfettamente) ma non sono uguali dato che sono messe
“allo specchio”. Altrettanto importante è sottolineare il ruolo
della piega come linea separatrice delle due parti simmetriche (cioè
asse di simmetria).
Nella seconda parte si dovrà fare attenzione al fatto che i bambini
abbiano già inserito nella tabella alcuni prodotti che si trovano in
posizioni simmetriche rispetto alla diagonale, altrimenti non sarà
possibile fare nessuna osservazione. La discussione dovrà essere
opportunamente gestita perché si arrivi a dare una spiegazione della
simmetria della tabella, sia che sia in termini di diagrammi-rettangolo
che di proprietà dell'operazione di moltiplicazione.
Nella terza fase si possono anche fare domande aggiuntive ai bambini,
per favorire la consapevolezza della proprietà commutativa, del tipo:
“Quanto fa 2 per 3? …E 3 per 2?” Allora posso sempre scambiare i
due numeri che sto moltiplicando? Perché? Che cosa significa
moltiplicare due numeri? Usando i rettangoli della tabellona geometrica,
si può far vedere bene in maniera visivamente intuitiva la proprietà,
per esempio, riflettendo un rettangolo sulla diagonale e fisicamente
portandolo a coincidere con la sua immagine simmetrica al di là
dell’asse. Chiaramente i quadratini al suo interno sono rimasti lo
stesso numeri, ed è cambiato solo ma il modo vederli disposti.
Altre schede-esempio e possibili Compiti
Per lavorare sulla simmetria si può ricorrere allo specchio, far
completare ai bambini delle figure “fatte a metà” rispettando una
simmetria o ancora notare delle simmetrie negli oggetti che incontrano
nella loro quotidianità.
Si tenga ben presente che l'obiettivo finale è quello di poter
utilizzare la simmetria per la costruzione della tavola pitagorica.
Potrebbe anche essere utile disegnare un rettangolo simmetrico ad un
altro rispetto ad una retta di 45° e notare che corrisponde alla
rotazione che si era osservato nella scheda sui diagrammi-rettangolo
ottenuti invertendo l'ordine dei fattori.
Esercizi
di supporto all'attività.